Выберите верные знаки и обозначения точек на числовой прямой для выражения \(\displaystyle \frac{(x+9)^2}{x+9}\) при решении неравенства методом интервалов:
\(\displaystyle \frac{(x+9)^2}{x+9} \le 0{\small .}\)
Найдем корни числителя \(\displaystyle (x+9)^2 \) и знаменателя \(\displaystyle x+9{\small : } \)
\(\displaystyle (x+9)^2=0 \) или \(\displaystyle x+9=0{ \small ,} \)
\(\displaystyle x+9=0{\small ,} \)
\(\displaystyle x=-9{\small .} \)
Поскольку знак неравенства нестрогий, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми.
Поскольку \(\displaystyle x=-9 \) обращает в ноль знаменатель, то она обозначается выколотой:
Получили два интервала:
\(\displaystyle (-\infty;-9)\) и \(\displaystyle (-9;+\infty){\small .}\)
Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x+9)^2}{x+9}\) на каждом из интервалов. Для этого вычислим значение функции \(\displaystyle f(x)=\frac{(x+9)^2}{x+9}\) в произвольно выбранной точке интервала.
Для интервала \(\displaystyle (-\infty;-9)\) выберем \(\displaystyle x=-10 \in (-\infty;-9){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=-10{ \small :}\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{(-10+9)^2}{-10+9}<0{\small .}\)
Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-\infty;-9){\small :}\)
Для интервала \(\displaystyle (-9;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=0\in (-9;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=0{ \small :}\)
\(\displaystyle f(0)=\frac{(0+9)^2}{0+9}>0{\small .}\)
Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-9;+\infty){\small :}\)
Таким образом, получили следующие знаки на интервалах \(\displaystyle (-\infty;-9)\) и \(\displaystyle (-9;+\infty){\small :}\)
