Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой \(\displaystyle f_0 = 440\)Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз.
Из-за эффекта Доплера частота второго гудка \(\displaystyle f\) больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону \(\displaystyle f(v) = \frac{{f_0 }}{{1 - \dfrac{v}{c}}}\)(Гц), где \(\displaystyle c\)– скорость звука (в м/с).
Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на \(\displaystyle 10\)Гц.
Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а \(\displaystyle c = 315\)м/с. Ответ дайте в м/с.
По условию дана частота первого гудка \(\displaystyle \color{blue}{f_0}\) и скорость звука \(\displaystyle \color{green}{ c}{\small.}\)
Подставим данные значения в формулу для частоты второго гудка
\(\displaystyle f(v) = \frac{\color{blue}{f_0 }}{{1 - \dfrac{v}{\color{green}c}}}{\small.}\)
Поскольку \(\displaystyle \color{blue}{ f_0 }=\color{blue}{ 440}\) и \(\displaystyle \color{green}{ c}=\color{green}{ 315}{\small,}\) то получаем:
\(\displaystyle f(v) = \frac{\color{blue}{440 }}{{1 - \dfrac{v}{\color{green}{315}}}}{\small.}\)
По условию частота второго гудка должна быть не менее, чем на \(\displaystyle 10\) больше частоты первого. Значит, должно выполняться ограничение \(\displaystyle f(v) \geq 450 {\small.}\)
То есть выполняется неравенство
\(\displaystyle \frac{\color{blue}{440 }}{{1 - \dfrac{v}{\color{green}{315}}}} \geq 450{\small.}\)
Решим это неравенство.
Домножим обе части неравенства на знаменатель \(\displaystyle {1 - \dfrac{v}{315}}{\small.}\) Так как \(\displaystyle {1 - \dfrac{v}{315}}>0{\small,}\) то знак неравенства сохраняется без изменений.
Получаем:
\(\displaystyle \frac{440}{1 - \dfrac{v}{315}} \geq 450 \,|\, \cdot \left(\color{red}{ 1 - \dfrac{v}{315}}\right)\)
\(\displaystyle {440} \geq 450 \cdot \left({1 - \dfrac{v}{315}}\right) {\small,}\)
\(\displaystyle {440} \geq 450 - \dfrac{450v}{315} {\small.}\)
Перенесем выражение с неизвестной в левую часть неравенства, а \(\displaystyle {440}\) – в правую. Получаем:
\(\displaystyle \dfrac{450v}{315} \geq 450 - {440} {\small,}\)
\(\displaystyle \dfrac{450v}{315} \geq 10{\small,}\)
\(\displaystyle \dfrac{10v}{7} \geq 10 \,|\, \cdot \color{red}{\frac{7}{10} }{\small,}\)
\(\displaystyle v \geq 7{\small.}\)
Тогда наименьшее значение скорости составляет \(\displaystyle 7 \)м/с.
Ответ: \(\displaystyle 7 \)м/с.