\(\displaystyle 10\) декабря планируется взять кредит в банке на сумму \(\displaystyle 715\) тысяч рублей на \(\displaystyle n+1\) месяц. Условия возврата таковы:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\%\) по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle n\)-й долг должен быть на \(\displaystyle 35\) тысяч рублей меньше долга на \(\displaystyle 10\)-е число предыдущего месяца;
- к \(\displaystyle 10\)-му числу \(\displaystyle n+1\)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
На \(\displaystyle 10\)-е число \(\displaystyle n\)-го месяца долг составит \(\displaystyle 50\) тысяч рублей.
Общая сумма выплат после полного погашения кредита составит \(\displaystyle 1561{,}6\) тысяч рублей.
Найдите, под какой процент был взят кредит и \(\displaystyle n{\small .}\)
\(\displaystyle p\%=\)\(\displaystyle \%\)
\(\displaystyle n=\).
Напомним обозначения в задаче.
Кредит был взят на \(\displaystyle n+1\) месяц под \(\displaystyle p\) процентов в месяц.
Обозначим за \(\displaystyle x=\frac{p}{100}{\small .}\)
Построим таблицу ежемесячных выплат.
Сначала поймем как формируются выплаты в каждом месяце.
Для этого разберем первый шаг:
- \(\displaystyle 1\)-го числа каждого месяца долг возрастает на \(\displaystyle p\%\), то есть долг стал \(\displaystyle 715+\frac{p}{100}\cdot 715=(1+x)\cdot 715{\small ,}\)
- со \(\displaystyle 2\)-го по \(\displaystyle 9\)-ое число выплачивается часть долга,
- \(\displaystyle 10\)-го числа каждого месяца с \(\displaystyle 1\)-го по \(\displaystyle n\)-й долг должен быть меньше на \(\displaystyle 35\) тысяч рублей, то есть долг стал \(\displaystyle 715-35\) тысяч рублей.
Чтобы долг уменьшился с \(\displaystyle 715\) тысяч рублей до \(\displaystyle 715-35\) тысяч рублей, необходимо:
- выплатить начисленные проценты: \(\displaystyle x\cdot 715 {\small ; }\)
- выплатить \(\displaystyle 35\) тысяч рублей.
Следовательно, выплата в первый месяц – это сумма процентов и \(\displaystyle 35\) тысяч рублей:
\(\displaystyle x\cdot 715+35{\small .}\)
Аналогично формируется выплата в каждом месяце, кроме последнего:
начисленные проценты+\(\displaystyle 35\) тысяч рублей.
Составим таблицу выплат:
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
\(\displaystyle 715\) | |||
| \(\displaystyle 1\) |
\(\displaystyle 715-35\) | \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot 715}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot 715}+35\) |
| \(\displaystyle 2\) |
\(\displaystyle 715-2\cdot 35\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(715-35)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot(715-35)}+35\) |
| \(\displaystyle 3\) |
\(\displaystyle 715-3\cdot 35\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(715-2\cdot 35)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot(715-2\cdot 35)}+35\) |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle n\) |
\(\displaystyle \color{green}{715-n\cdot 35}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(715-(n-1)\cdot 35)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot(715-(n-1)\cdot 35)}+35\) |
| \(\displaystyle n+1\) |
\(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(715-n\cdot 35)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot(715-n\cdot 35)}+\color{green}{715-n\cdot 35}\) |
По условию известно, что в \(\displaystyle n\) месяце долг составляет \(\displaystyle 50\) тысяч рублей, и, следовательно,
\(\displaystyle \color{green}{715-n\cdot 35}=50{\small .}\)
Отсюда получаем, что
\(\displaystyle n=\frac{715-50}{35}{\small ,}\)
\(\displaystyle n=19{\small .}\)
Продолжим таблицу с \(\displaystyle n=19\)-го месяца.
| Шаг | Долг | Проценты | Выплаты |
| \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) | \(\displaystyle \dots\) |
| \(\displaystyle 19\) |
\(\displaystyle \color{green}{715-19\cdot 35}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(715-18\cdot 35)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot(715-18\cdot 35)}+35\) |
| \(\displaystyle 20\) |
\(\displaystyle 0\) | \(\displaystyle \color{blue}{x(715-19\cdot 35)}\) | \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot(715-19\cdot 35)}+\color{green}{715-19\cdot 35}\) |
В последнем месяце надо погасить весь долг, то есть выплатить всю сумму:
- долг с прошлого месяца: \(\displaystyle \color{green}{719-19\cdot 35} {\small ; }\)
- проценты, начисленные на этот долг: \(\displaystyle \color{blue}{x\cdot(715-19\cdot 35)} {\small . }\)
Поэтому выплата в последний месяц составит
\(\displaystyle \color{blue}{x\cdot(715-19\cdot 35)}+\color{green}{715-19\cdot 35}{\small .}\)
Найдем общую сумму выплат:
\(\displaystyle \begin{array}{l} \color{blue}{x\cdot 715}+35+\color{blue}{x(715-35)}+35+\color{blue}{x(715-2\cdot 35)}+35+\ldots+\color{blue}{x(715-18\cdot 35)}+\\[5px]+35+\color{blue}{x(715-19\cdot 35)}+\color{green}{715-19\cdot 35}{\small . }\end{array}\)
Выделим цветом подобные слагаемые:
\(\displaystyle \begin{array}{l} x\cdot \color{blue}{715}+\color{green}{35}+x(\color{blue}{715}-\color{red}{35})+\color{green}{35}+ x(\color{blue}{715}-\color{red}{2\cdot 35})+\color{green}{35}+\ldots+x(\color{blue}{715}-\color{red}{18\cdot 35})+\\[5px]+\color{green}{35}+x(\color{blue}{715}-\color{red}{19\cdot 35})+715-19\cdot 35{\small . }\end{array}\)
Сгруппируем их:
\(\displaystyle \begin{array}{l}\color{green}{\overbrace{35+35+35+\ldots+35}^{19\, раз}}+x(\color{blue}{\overbrace{715+715+715+\ldots+715+715}^{20 \, раз}})-\\-x\cdot 35(\color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{18}+\color{red}{19})+715-19\cdot 35 {\small .}\end{array}\)
Вычислим сумму арифметической прогрессии:
\(\displaystyle \color{red}{1}+\color{red}{2}+\ldots+\color{red}{18}+\color{red}{19}=\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}{\small .}\)
По условию общая сумма выплат равна \(\displaystyle 1561{,}6{\small .}\) Тогда получаем:
\(\displaystyle 1561{,}6=\color{green}{19\cdot 35}+x\cdot \color{blue}{20\cdot 715}-x\cdot\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}+715-19\cdot 35\)
или
\(\displaystyle x\cdot \color{blue}{20\cdot 715}-x\cdot\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}+715=1561{,}6{\small .}\)
Решим полученное линейное уравнение:
\(\displaystyle \left(\color{blue}{20\cdot 715}-\color{red}{\frac{(1+19)}{2}\cdot 19}\right)x=1561{,}6-715{\small ,}\)
\(\displaystyle 14110x=846{,}6 {\small ,}\)
\(\displaystyle x=\frac{846{,}6}{14110} {\small ,}\)
\(\displaystyle x=0{,}06{\small .}\)
Так как \(\displaystyle x=\frac{p}{100}{\small ,}\) то \(\displaystyle p=100\cdot x\) и
\(\displaystyle p=100\cdot 0{,}06{\small ,}\)
\(\displaystyle p=6{\small .}\)
Таким образом,
\(\displaystyle n=19\) и \(\displaystyle p=6{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle n=19\) и \(\displaystyle p=6{\small .}\)