Skip to main content

Теория: Горизонтальная прямая.

Задание

Постройте график функции

\(\displaystyle\begin{cases}x^2+1,\,\,\small{если}\,\,x\geqslant-1, \\-\dfrac{4}{x},\,\,\small{если}\,\,x<-1. \\\end{cases}\)

Определите, при каких значениях \(\displaystyle m\) прямая \(\displaystyle y=m\) имеет с графиком одну общую точку.

Выберите верный ответ.

Решение

Построим график кусочно-заданной функции по шагам:

  • сначала построим график \(\displaystyle x^2+1\) для \(\displaystyle x\geqslant-1,\)
  • затем  построим график \(\displaystyle -\dfrac{4}{x}\) для \(\displaystyle x<-1\small.\)

Строим график \(\displaystyle y=x^2+1\) для \(\displaystyle x\geqslant-1\small.\)

Строим график \(\displaystyle y=-\dfrac{4}{x} \) для \(\displaystyle x<-1\small.\)

Объединяя, получаем график кусочно-заданной функции.

\(\displaystyle y= \begin{cases}x^2+1,\,\,\small{если}\,\,x\geqslant-1, \\-\dfrac{4}{x},\,\,\small{если}\,\,x<-1. \\\end{cases} \)


Запишем координаты граничных точек:

 \(\displaystyle x=-1\)
\(\displaystyle y=x^2+1\)\(\displaystyle 2\)
\(\displaystyle y=-\dfrac{4}{x}\)\(\displaystyle 4\)


А также отметим, что  координаты вершины параболы – \(\displaystyle (0;\,1)\small.\)

Определим, при каких значениях \(\displaystyle m\) прямая \(\displaystyle y=m\) пересекает график ровно в одной точке.

Прямая \(\displaystyle y=m\) – горизонтальная прямая.

Меняя значение \(\displaystyle m,\) будем двигать данную прямую.

Определим, когда она имеет с графиком ровно одну общую точку:

Таким образом, прямая \(\displaystyle y=m\) имеет с графиком ровно одну общую точку при

\(\displaystyle m\in(0;\, 1)\cup[4;\,+\infty)\small.\)

Ответ: \(\displaystyle m\in(0;\, 1)\cup[4;\,+\infty)\small.\)