01Математика - ОГЭ - Задание 5. Пробег автомобиля

Задание


Рис. 1	Рис. 2

Автомобильное колесо, как правило, представляет из себя металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине.

Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, \(\displaystyle 195/65\, \mathrm R15\)(рис. 1). Первое число (число \(\displaystyle 195\) в приведённом примере) обозначает ширину шины
в миллиметрах (параметр \(\displaystyle B\) на рисунке 2).
Второе число (число \(\displaystyle 65\) в приведённом примере) – процентное отношение высоты боковины (параметр \(\displaystyle H\) на рисунке 2) к ширине шины, то есть \(\displaystyle 100 \cdot \frac {H}{B}{\small .}\)

Последующая буква обозначает тип конструкции шины. В данном примере буква \(\displaystyle \mathrm R\) означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции.

За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр диска колеса \(\displaystyle d\) в дюймах (в одном дюйме \(\displaystyle 25{,}4\) мм). Таким образом, общий диаметр колеса \(\displaystyle D\) легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины.

Возможны дополнительные маркировки, обозначающие допустимую нагрузку на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие параметры.

Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами маркировки \(\displaystyle 185/60\, \mathrm R14{\small .}\)

Завод допускает установку шин с другими маркировками.

На сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки \(\displaystyle 205/50\, \mathrm R16{\small ?}\) Результат округлите до десятых.

Решение

Требуется определить, на сколько процентов увеличится пробег автомобиля при одном обороте колеса, если заменить колёса, установленные на заводе, колёсами с шинами маркировки \(\displaystyle 205/50\, \mathrm R16{\small .}\)

Заметим, что пробег автомобиля при одном обороте колеса равен длине внешней окружности колеса \(\displaystyle L{\small .}\)

Правило

Длина окружности

Длина окружности \(\displaystyle L\) равна произведению её диаметра \(\displaystyle D\) на число \(\displaystyle \pi{\small :}\)

\(\displaystyle L=\pi \cdot D{\small .}\)

Введём обозначения:

\(\displaystyle D_{1}\) и \(\displaystyle L_{1}\) – диаметр и длина внешней окружности соответственно колеса, устанавливаемого на заводе;
\(\displaystyle D_{2}\) и \(\displaystyle L_{2}\) – диаметр и длина внешней окружности соответственно колеса с шинами маркировки \(\displaystyle 205/50\, \mathrm R16{\small .}\)

Требуется определить, на сколько процентов \(\displaystyle L_{2}\) больше, чем \(\displaystyle L_{1}{\small .}\)

Примем длину окружности \(\displaystyle L_{1}\) за \(\displaystyle 100\%\) и определим, сколько процентов составляет длина \(\displaystyle L_{2}{\small :}\)

\(\displaystyle L_{1}=\color {red}{\pi \cdot D_{1}}\)мм и это \(\displaystyle 100\%{\small .}\) Тогда один мм составляет \(\displaystyle \frac{100}{\color {red}{\pi \cdot D_{1}}}\) процентов.
\(\displaystyle L_{2}=\color {green}{\pi \cdot D_{2}}\)мм. Значит, в процентах это составляет \(\displaystyle \color {green}{\pi \cdot D_{2}}\cdot \frac{100}{\color {red}{\pi \cdot D_{1}}}=\frac{\color {green}{D_{2}}}{\color {red}{D_{1}}}\cdot 100\) процентов.

Таким образом, для ответа на вопрос задачи нам достаточно найти диаметры колёс.

1. Найдём диаметр колёс, устанавливаемых на заводе.

Диаметр колеса, устанавливаемого на заводе, равен \(\displaystyle \color{red}{D_{\,1}=577{,}6}\)мм

Завод устанавливает на автомобили колёса с шинами маркировки \(\displaystyle \color{orange}{185}/\color{green}{60}\, \mathrm R\color{magenta}{14}{\small .}\)

Получаем, что :

ширина шины \(\displaystyle B=\color{orange}{185}\)мм;
процентное отношение высоты боковины \(\displaystyle H\) к ширине шины \(\displaystyle B\) составляет \(\displaystyle \color{green}{60}\%{\small ;}\)
диаметр диска колеса \(\displaystyle d=\color{magenta}{14}\)дюймов.

По рисунку видим, что диаметр колеса \(\displaystyle D\) можно найти по формуле:

\(\displaystyle D=2 \cdot H+d{\small.}\)

При этом все величины должны иметь одинаковые единицы измерения – миллиметры.

Для нахождения диаметра колеса \(\displaystyle D\) нам потребуется:

Выразить диаметр диска колеса \(\displaystyle d\) в миллиметрах.
Найти высоту боковины \(\displaystyle H{\small.}\)
Вычислить диаметр колеса \(\displaystyle D{\small.}\)

Шаг 1. Выразим диаметр диска колеса \(\displaystyle d\) в миллиметрах.

Диаметр диска колеса \(\displaystyle d=\color{magenta}{14}\)дюймов. В одном дюйме \(\displaystyle 25{,}4\) мм.

Значит,

\(\displaystyle d=\color{magenta}{14}\cdot 25{,}4=\color{violet}{355{,}6}\)мм.

Шаг 2. Найдём высоту боковины \(\displaystyle H{\small.}\)

Ширина шины \(\displaystyle B=\color{orange}{185}\)мм.

Процентное отношение высоты боковины \(\displaystyle H\) к ширине шины \(\displaystyle B\) равно \(\displaystyle \color{green}{60}\%{\small .}\) Это значит, что высота \(\displaystyle H\) составляет \(\displaystyle \color{green}{60}\%\) от ширины шины \(\displaystyle B{\small .}\)

Найдём \(\displaystyle H\) как \(\displaystyle \color{green}{60}\%\) от числа \(\displaystyle \color{orange}{185}{\small :}\)

\(\displaystyle H=\frac{\color{orange}{185}}{100} \cdot \color{green}{60}=\color{blue}{111}\)мм.

Шаг 3. Вычислим диаметр колеса \(\displaystyle D_{\,1}{\small.}\)

\(\displaystyle D=2 \cdot\color{blue}{H}+\color{violet}{d}{\,\small,}\)

\(\displaystyle D_{\,1}=2 \cdot\color{blue}{111}+\color{violet}{355{,}6}=222+355{,}6=577{,}6{\small.}\)

Таким образом, диаметр колеса автомобиля, выходящего с завода, равен \(\displaystyle 577{,}6\)мм.

2. Найдём диаметр колёс с шинами маркировки \(\displaystyle \color{orange}{205}/\color{green}{50}\, \mathrm R\color{magenta}{16}{\small .}\)

Диаметр колеса, используемого для замены, равен \(\displaystyle \color{green}{D_{\,2}=611{,}4}\)мм

3. Найдём, сколько составляет длина \(\displaystyle L_{2}\) в процентах от \(\displaystyle L_{1}{\small.}\) Ответ требуется дать с точностью до десятых, поэтому расчёты выполняем с точностью до сотых, а затем округляем до десятых:

\(\displaystyle L_{2}=\frac{\color{green}{D_{2}}}{\color {red}{D_{1}}}\cdot 100=\frac{\color{green}{611{,}4}}{\color {red}{577{,}6}}\cdot 100=\frac{611400}{5776}≈105{,}85 ...≈105{,}9{\small.}\)

Значит, при замене колёс, установленных на заводе, колёсами с шинами маркировки \(\displaystyle 205/50\, \mathrm R16\) пробег автомобиля при одном обороте колеса увеличится на

\(\displaystyle 105{,}9-100=5{,}9\) процентов.

Ответ: \(\displaystyle 5{,}9\)

Теория: Пробег автомобиля

Длина окружности