Найдите все значения \(\displaystyle a {\small ,}\) при каждом из которых уравнение
\(\displaystyle |x^2-a^2|=|x+a| \cdot \sqrt {2x+2}\)
имеет ровно два различных корня.
Рассмотрим исходное уравнение:
\(\displaystyle |x^2-a^2|=|x+a| \cdot \sqrt {2x+2}\)
Область определения уравнения:
\(\displaystyle 2x+2\geqslant 0\)
или
\(\displaystyle x\geqslant -1{\small .}\)
Перенесём все слагаемые влево и воспользуемся формулой разности квадратов.
\(\displaystyle |x^2-a^2|-|x+a| \cdot \sqrt {2x+2}=0{\small ,}\)
\(\displaystyle |(x-a)(x+a)|-|x+a| \cdot \sqrt {2x+2}=0{\small .}\)
По формуле
Модуль произведения
Для любых чисел \(\displaystyle a, b\) верно
\(\displaystyle |a \cdot b|=|a| \cdot |b|{\small .}\)
получаем:
\(\displaystyle |x-a| \cdot |x+a|-|x+a| \cdot \sqrt {2x+2}=0{\small .}\)
Вынесем общий множитель \(\displaystyle |x+a|\) за скобки и получим уравнение:
\(\displaystyle |x+a| \cdot \left (|x-a|-\sqrt {2x+2} \right) =0{\small .}\)
Значит,
\(\displaystyle |x+a| =0\) или \(\displaystyle |x-a|-\sqrt {2x+2} =0{\small .}\)
План действий:
- Исследуем каждое уравнение на возможное количество корней, являющихся корнями исходного уравнения.
- Найдём, при каких значениях \(\displaystyle a\) количество различных корней исходного уравнения равно двум.
Шаг 1. Исследуем каждое уравнение на возможное количество корней, являющихся корнями исходного уравнения.
при \(\displaystyle a \leqslant 1\) дает один корень\(\displaystyle x=-a{\small ;}\)
при \(\displaystyle a >1\) корней не дает.
при \(\displaystyle a> -\frac {3}{2}\) дает два различных корня;
при \(\displaystyle a= -\frac {3}{2}\) дает один корень;
при \(\displaystyle a<- \frac {3}{2}\) корней не дает.
Шаг 2. Найдём, при каких значениях \(\displaystyle a\) количество различных корней исходного уравнения равно двум.
Рассмотрим каждый из трех случаев отдельно:
Случай 1: Получаем систему:
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em}a>1{\small ,}\\[10px]&\kern{-1em}a> -\dfrac {3}{2}{\small ,}\end{cases}\)
откуда \(\displaystyle \color{red}{a> 1}{\small .}\)
Для рассмотрения двух оставшихся случаев найдём, при каких значениях \(\displaystyle a\) корни уравнений \(\displaystyle 1\) и \(\displaystyle 2\) совпадают.
Случай 2: Получаем систему:
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em} a\leqslant 1{\small ,}\\[5px]&\kern{-1em}a> -\dfrac {3}{2}{\small ,} \\[5px]&\kern{-1em}a=-1 \,\,\text{\scriptsize{или}}\,\, a =\dfrac{1}{2}{\small ,}\\\end{cases}\)
решением которой являются \(\displaystyle \color{red}{a=-1}\) и \(\displaystyle \color{red}{a=\frac{1}{2}}{\small .}\)
Случай 3:
\(\displaystyle \begin{cases}&\kern{-1em} a\leqslant 1{\small ,}\\[5px]&\kern{-1em}a= -\dfrac {3}{2}{\small ,} \\[5px]&\kern{-1em}a\,\cancel=-1 {\small ,} \\[5px]&\kern{-1em}a\,\cancel =\,\dfrac{1}{2}{\small .}\\\end{cases}\)
Решением данной системы является \(\displaystyle \color{red}{a=-\frac{3}{2}}{\small .}\)
Объединяя решения, полученные при рассмотрении трёх случаев, получаем, что исходное уравнение имеет ровно два различных корня при \(\displaystyle a> 1{\small ,}\) \(\displaystyle a= -1{\small ,} \)\(\displaystyle a= \frac {1}{2}\) и \(\displaystyle a=-\frac {3}{2}{\small .}\)
Ответ: \(\displaystyle a= -\frac {3}{2}{\small ,} \) \(\displaystyle a= -1{\small ,}\) \(\displaystyle a= \frac {1}{2}{\small ,}\) \(\displaystyle a> 1{\small .}\)
Заметим, что можно было сразу возвести исходное уравнение в квадрат и избавиться одновременно от модулей и корня:
\(\displaystyle \left ( |x^2-a^2|\right)^2=\left (|x+a| \cdot \sqrt {2x+2}\right)^2{\small , }\)
\(\displaystyle \left ( x^2-a^2\right)^2=(x+a)^2 \cdot \left (\sqrt {2x+2}\right)^2{\small , }\)
\(\displaystyle ( x-a)^2 \cdot ( x+a)^2-(x+a)^2 \cdot (2x+2)=0{\small , }\)
\(\displaystyle ( x+a)^2 \left( (x-a)^2 -2x-2)\right)=0{\small ,}\)
а затем решить два полученных уравнения:
\(\displaystyle ( x+a)^2=0\) или \(\displaystyle (x-a)^2 -2x-2=0{\small .}\)
Корень первого уравнения легко проверить на принадлежность области определения исходного уравнения.
При решении второго уравнения необходимо отметить, что \(\displaystyle 2x+2=\left(x-a \right)^2 \geqslant 0 {\small , }\)поэтому \(\displaystyle 2x+2 \geqslant 0{\small .}\) То есть все найденные корни попадут в область определения исходного уравнения и будут его корнями. В противном случае проверка корней на принадлежность области определения исходного уравнения будет весьма трудоёмкой.