Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 14 Уравнение \(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}\)

Задание

Уравнение

 \(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}{\small.}\)

равносильно двум элементарным тригонометрическим уравнениям:

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small .}\)

Решение

Упростим уравнение.

Приведем степени в левой и правой части к одному основанию.

Приведем левую часть к степени с основанием \(\displaystyle 5{\small.}\)

Так как \(\displaystyle 25=5^2{\small,}\) то

\(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=\left(\left(5^2\right)^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}{\small.}\)

Теперь дважды воспользуемся свойством степеней \(\displaystyle (a^m)^n=a^{m\cdot n}{\small:}\)

\(\displaystyle \left(\left(5^2\right)^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=\left(5^{2\cdot\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{2\cos(x)\cdot\sin(x)}{\small.}\)


Получаем:

\(\displaystyle \color{blue}{\left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}{\small,}\)

\(\displaystyle \color{blue}{5^{2\cos(x)\cdot\sin(x)}}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}{\small.}\)


Две степени с одинаковыми основаниями равны, значит, равны показатели степеней:

\(\displaystyle 2\cos(x)\sin(x)={\sqrt{2}\sin(x)}{\small.}\)
 

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общий множитель \(\displaystyle \sin(x)\) за скобку:

\(\displaystyle 2\cos(x)\sin(x)={\sqrt{2}\sin(x)}{\small,}\)

\(\displaystyle 2\cos(x)\sin(x)-{\sqrt{2}\sin(x)}=0{\small,}\)

\(\displaystyle \sin(x)(2\cos(x)-{\sqrt{2}})=0{\small.}\)


Произведение двух множителей равно нулю, значит, один из них равен нулю:

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle 2\cos(x)-{\sqrt{2}}=0{\small.}\)

Преобразуя второе, получаем:

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)


Таким образом, уравнение \(\displaystyle \left(25^{\cos(x)}\right)^{\sin(x)}=5^{\sqrt{2}\sin(x)}\) равносильно двум элементарным тригонометрическим:

\(\displaystyle \sin(x)=0\) или \(\displaystyle \cos(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}{\small.}\)