Теория: 08 Призма (площади)

В основании призмы \(\displaystyle ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) лежит правильный шестиугольник \(\displaystyle ABCDEF\) со стороной \(\displaystyle AB=2 \small. \) Правильный шестиугольник можно разделить на шесть равных правильных треугольников. Тогда \(\displaystyle S_{осн}=S_{ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1}=6 \cdot S_{\triangle ABO} \small.\)

Правило

Площадь равностороннего треугольника

Площадь \(\displaystyle S\) равностороннего треугольника равна  \(\displaystyle S=\frac{a^2 \sqrt{3}}{4}{ \small ,} \) где \(\displaystyle a \) – сторона треугольника.

Следовательно, \(\displaystyle S_{\triangle ABO}= \frac{AB^2 \cdot \sqrt{3}}{4}\small,\) \(\displaystyle S_{\triangle ABO}= \frac{2^2 \cdot \sqrt{3}}{4} \small,\) \(\displaystyle S_{\triangle ABO}= \sqrt{3}\small.\)

Значит, площадь основания данной призмы равна

\(\displaystyle S_{осн}=6 \cdot S_{\triangle ABO}=6 \cdot \sqrt{3} \small. \)

Способ 1

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней данной призмы.

Боковые грани данной правильной призмы – равные прямоугольники со сторонами \(\displaystyle a=2\) и \(\displaystyle h=2\sqrt{3} \small. \)

Следовательно, площади боковых граней равны.

Площадь одной грани \(\displaystyle S_{грани}\) найдем по формуле площади прямоугольника:

\(\displaystyle S_{грани}=a \cdot h \small, \)

\(\displaystyle S_{грани}=2 \cdot 2 \sqrt{3}=4 \sqrt{3} \small. \)

В правильной шестиугольной призме боковая поверхность состоит из шести таких граней. Значит,

\(\displaystyle S_{бок}=6 \cdot S_{грани} \small, \)

\(\displaystyle S_{бок}=6 \cdot 4\sqrt{3}=24 \sqrt{3}\small. \)

Способ 2

Воспользуемся формулой для вычисления площади боковой поверхности прямой призмы.

Периметр основания призмы \(\displaystyle ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) равен периметру правильного шестиугольника\(\displaystyle ABCDEF\small: \)

\(\displaystyle P_{осн}=P_{ ABCDEF}=6\cdot AB \small. \)

Высота прямой призмы равна боковому ребру, то есть \(\displaystyle h=AA_1\small.\)

Получаем:

\(\displaystyle S_{бок}=P_{осн} \cdot h{ \small ,} \)

\(\displaystyle S_{бок}=6 \cdot AB \cdot AA_1{ \small .} \)

Подставим  значения \(\displaystyle AB=2\) и \(\displaystyle AA_1=2\sqrt{3}\) и вычислим площадь боковой поверхности призмы:

\(\displaystyle S_{бок}=6 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3}{ \small ,} \)

\(\displaystyle S_{бок}=24 \sqrt{3}{ \small .} \)