Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 05 Решение квадратичных неравенств методом интервалов

Задание

Используя метод интервалов, решите неравенство:

\(\displaystyle x^2+2x>15{\small .}\)

\(\displaystyle x \in \) Перетащите сюда правильный ответ

Решение

Чтобы решить неравенство методом интервалов, преобразуем неравенство так, чтобы с одной стороны был ноль:

\(\displaystyle x^2+2x>15{\small ,}\)

\(\displaystyle x^2+2x-15>0{\small .}\)

Далее найдем все корни квадратного уравнения \(\displaystyle x^2+2x-15=0{\small .}\)

\(\displaystyle x_1=-5\) и \(\displaystyle x_2=3\) корни уравнения \(\displaystyle x^2+2x-15=0\)

Отметим найденные корни на числовой прямой, выкалывая их (так как знак неравенства строгий):

Получаем три интервала:

\(\displaystyle (-\infty;-5){ \small ,} \, (-5;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)

Определим знак функции \(\displaystyle f(x)=x^2+2x-15\) в каждом из данных интервалов.

Для интервала \(\displaystyle (-\infty;-5)\) выберем \(\displaystyle x=-6 \in (-\infty;-5){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=-6{ \small :}\)

\(\displaystyle f(-6)=(-6)^2+2\cdot(-6)-15=36-12-15>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (-\infty;-5){\small :}\)

Для интервала \(\displaystyle (-5;3)\) выберем \(\displaystyle x=-4 \in (-5;3){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=-4 { \small :}\)

\(\displaystyle f(-4)=(-4)^2+2 \cdot(-4)-15=16-8-15<0{\small .}\)

Пишем знак минус в интервале \(\displaystyle (-5;3){\small :}\)

Для интервала \(\displaystyle (3;+\infty)\) выберем \(\displaystyle x=4 \in (3;+\infty){\small .}\) Определим знак значения функции в точке \(\displaystyle x=4 { \small :}\)

\(\displaystyle f(4)=4^2+2\cdot4-15=16+8-15>0{\small .}\)

Пишем знак плюс в интервале \(\displaystyle (3;+\infty){\small :}\)

Так как решения неравенства  \(\displaystyle x^2+2x-15>0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)=x^2+2x-15\) положительна, то

\(\displaystyle (-\infty;-5) \cup(3;+\infty)\) – искомое решение.

Ответ: \(\displaystyle x \in (-\infty;-5) \cup(3;+\infty){\small .}\)