Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Решение систем линейных неравенств

Задание

Решите систему линейных неравенств:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}14x-12& < 11x+12{ \small ,}\\-13x-7&>3-15x{\small .}\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle x\in\) Перетащите сюда правильный ответ
Решение

Преобразуем каждое из линейных уравнений в данной системе к простейшему виду.

Перенесем все неизвестные влево, а числа вправо:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}14x-12& < 11x+12{ \small ,}\\-13x-7&>3-15x{\small ;}\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}14x-11x& < 12+12{ \small ,}\\-13x+15x& > 3+7{\small .}\end{aligned}\right.\)

Приведем подобные:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}3x&< 24{ \small ,}\\2x&> 10{\small .}\end{aligned}\right.\)

Разделим обе части каждого из неравенств на коэффициент при \(\displaystyle x{\small .} \)

При этом в случае деления на отрицательное число поменяем знак неравенства на противоположный:

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}3x&< 24\,|:\color{blue}{ 3}\\2x&> 10 \,|:\color{blue}{ 2}\end{aligned}\right.\)

\(\displaystyle \left\{\begin{aligned}x&< 8{ \small ,}\\x&> 5{\small .}\end{aligned}\right.\)


Решим получившуюся систему линейных неравенств.

Неравенство \(\displaystyle x<8\) соответствует множеству точек на прямой:


Неравенство \(\displaystyle x>5\) соответствует множеству точек на прямой:


Таким образом, переменная \(\displaystyle x\) одновременно меньше \(\displaystyle 8\) и больше \(\displaystyle 5{\small :}\)


Получившееся пересечение и будет решением исходной системы неравенств.

Значит, ответ – \(\displaystyle x\in (5; 8){\small .} \)


Ответ: \(\displaystyle x\in (5; 8){\small .} \)