Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 02 Углы с секущими в окружности

Задание

Четырёхугольник \(\displaystyle ABCD\) вписан в окружность, \(\displaystyle K\) – точка пересечения его диагоналей. Найти угол \(\displaystyle AKD \small,\) если \(\displaystyle \angle ACD =50^{\circ}\) и \(\displaystyle \angle CAB = 35^{\circ} \small.\) Ответ дайте в градусах.

Решение

Вписанные углы \(\displaystyle \angle ACD\) и \(\displaystyle \angle CAB\) опираются на дуги \(\displaystyle AD\) и \(\displaystyle CB \) соответственно.

Поскольку вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую опирается, то 

\(\displaystyle \angle ACD=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AD} \small,\)    \(\displaystyle \angle CAB=\frac{1}{2} \overset{\smile}{CB} \small.\)

Тогда

\(\displaystyle \overset{\smile}{AD}=2\angle ACD=100^{\circ} \small,\)   \(\displaystyle \overset{\smile}{CB}=2\angle CAB=70^{\circ} \small.\)

По теореме об угле между пересекающимися хордами 

Правило

Угол между пересекающимися хордами

Величина угла между пересекающимися хордами равна полусумме заключенных между ними дуг.

получаем:

\(\displaystyle \angle AKD=\frac{1}{2} \overset{\smile}{AD}+\frac{1}{2} \overset{\smile}{CB}=50^{\circ}+35^{\circ}=85^{\circ} \small.\)

Ответ: \(\displaystyle 85 {\small .}\)