Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 05 Геометрическая прогрессия-2

Задание

Известно, что в геометрической прогрессии

\(\displaystyle b_3 = 2{ \small ,}\, q = 0{,}5{\small .}\)

Под каким номером в этой прогрессии идет число \(\displaystyle \frac{1}{8}{\small ?}\) Если такого номера не существует, то оставьте ячейку ввода пустой.

\(\displaystyle n=\)
7
Решение

Найдем \(\displaystyle b_1{ \small ,} \) воспользовавшись формулой n-го члена арифметической прогрессии.

Правило

Формула \(\displaystyle n \)-го члена геометрической прогрессии

\(\displaystyle b_\color{red}{ n}=b_1\cdot q^{\color{red}{ n}-1}{ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.

Так как 

\(\displaystyle b_3 = b_1 \cdot q^2{ \small ,}\) 

то

\(\displaystyle b_1 = \frac{ b_3}{ q^2}{ \small ,}\)

\(\displaystyle b_1 = \frac{ 2}{ 0{,}5^2 }{ \small ,}\)

\(\displaystyle b_1 = 8{\small .}\)

Пусть число \(\displaystyle n\) таково, что \(\displaystyle b_n = \frac{ 1}{ 8 }{\small .}\)

Тогда, поскольку \(\displaystyle b_1=8\) и \(\displaystyle q= 0{,}5{ \small ,}\) то по формуле n-го члена арифметической прогрессии получаем:

\(\displaystyle \frac{ 1}{ 8 } = 8\cdot 0{,}5^{n-1}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 0{,}5^{n-1}=\frac{ 1}{ 64 }{ \small ,}\)

\(\displaystyle 0{,}5^{n-1}=\frac{ 1}{ 2^6}{ \small ,}\)

\(\displaystyle 0{,}5^{n-1}=\left(\frac{ 1}{ 2}\right)^6{ \small ,}\)

\(\displaystyle 0{,}5^{n-1}=0{,}5^6{ \small ,}\)

\(\displaystyle n - 1 = 6{ \small ,}\)

\(\displaystyle n = 7{\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle n = 7{\small .}\)