Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 15 Углы с касательными

Задание

Найдите угол \(\displaystyle ACO {\small ,}\) если его сторона \(\displaystyle CA\) касается окружности, \(\displaystyle O\) – центр окружности, сторона \(\displaystyle CO\) пересекает окружность в точках \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle D\) (см. рисунок), а дуга \(\displaystyle AD\) окружности, заключённая внутри этого угла, равна \(\displaystyle 116^\circ {\small .}\) Ответ дайте в градусах.

Решение

По свойству касательной к окружности

Правило

Свойство касательной к окружности

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

получаем:

\(\displaystyle \angle CAO=90^{\circ}{\small .} \)


Поскольку дуга \(\displaystyle AD\) меньше полуокружности, то по определению градусной меры дуги окружности

Правило

Градусная мера дуги окружности

Градусная мера полуокружности равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small .}\)

Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности меньше полуокружности, то ее градусная мера равна градусной мере центрального угла \(\displaystyle AOB{\small .}\)

Если дуга \(\displaystyle AB\) окружности больше полуокружности, то ее градусная мера равна \(\displaystyle 360^{\circ}-\angle AOB{\small .}\)

получаем:

\(\displaystyle {\angle AOD}={\overset{\smile}{AD}}=116^{\circ}{\small .} \)


Углы \(\displaystyle AOC\) и \(\displaystyle AOD\) смежные. Так как сумма смежных углов равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,}\) то

\(\displaystyle \angle AOC=180^{\circ}-\angle AOD=180^{\circ}-116^{\circ}=64^{\circ} {\small .}\)


Рассмотрим треугольник \(\displaystyle CAO {\small .}\)

Так как сумма углов треугольника равна \(\displaystyle 180^{\circ}{\small ,}\) то

\(\displaystyle \angle ACO=180^{\circ}-\angle CAO - \angle AOC=180^{\circ}-90^{\circ}-64^{\circ}=26^{\circ} {\small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 26 {\small .}\)