Поверните устройство

Поверните устройство

Skip to main content

Теория: 03 Площадь поверхности пирамиды

Задание

В правильной треугольной пирамиде \(\displaystyle SABC\) точка \(\displaystyle K\) – середина ребра \(\displaystyle BC{\small ,}\) \(\displaystyle S\) – вершина. Известно, что \(\displaystyle SK = 4{\small ,}\) а \(\displaystyle AC=9{\small .}\) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.  

54
Решение

Способ 1

Требуется найти площадь боковой поверхности \(\displaystyle S_{бок}\) правильной пирамиды. Эта площадь равна сумме площадей всех боковых граней.

Боковые грани правильной пирамиды – равные треугольники. Следовательно, площади боковых граней равны.

У правильной треугольной пирамиды три боковых грани. Значит,

\(\displaystyle S_{бок}=S_{грани}+S_{грани}+S_{грани}=3S_{грани}\small. \)

Вычислим \(\displaystyle S_{грани}\small. \)

\(\displaystyle S_{грани}=18\)

Получаем:

\(\displaystyle S_{бок}=3 \cdot S_{грани}=3\cdot 18 = 54\small. \)

Способ 2

Воспользуемся формулой для вычисления площади боковой поверхности пирамиды.

Правило

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды \(\displaystyle S_{бок} \) равна половине произведения периметра основания на апофему.

\(\displaystyle S_{бок}=\frac{1}{2}P_{осн} \cdot l{ \small ,} \)

где \(\displaystyle P_{осн} \) – периметр основания,

\(\displaystyle l\) – апофема.

Периметр основания правильной треугольной пирамиды равен

\(\displaystyle P_{осн}=3\cdot AC{\small .}\)

\(\displaystyle l=SK=4 \)

Подставим найденные значения \(\displaystyle P_{осн}\) и \(\displaystyle l\) в формулу для \(\displaystyle S_{бок}{\small :}\)

\(\displaystyle S_{бок}=\frac{1}{2}P_{осн} \cdot l{ \small ,} \)

\(\displaystyle S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot AC \cdot SK{ \small .} \)

Подставим значения \(\displaystyle AC\) и \(\displaystyle SK{\small :}\)

\(\displaystyle S_{бок}=\frac{1}{2}\cdot 3 \cdot 9 \cdot 4=54{ \small .}\)

Ответ: \(\displaystyle 54{\small .}\)