Наблюдатель находится на высоте \(\displaystyle h{\small,}\) выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле \(\displaystyle l = \sqrt {\frac{Rh}{500}}{\small,}\) где \(\displaystyle R = 6400\) км – радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии \(\displaystyle 8\) километров? Ответ дайте в метрах.
По условию дано расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта \(\displaystyle \color{blue}{l}\) км и радиус Земли \(\displaystyle \color{green}{ R}\) км.
Подставим данные значения в формулу для вычисления расстояния от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта
\(\displaystyle \color{blue}{l} = \sqrt {\frac{\color{green}{ R}h}{500}}{\small.}\)
Поскольку \(\displaystyle \color{blue}{l}=\color{blue}{8}\) и \(\displaystyle \color{green}{ R}=\color{green}{ 6400}{\small,}\) то получаем:
\(\displaystyle \color{blue}{8} = \sqrt {\frac{\color{green}{6400}h}{500}}{\small.}\)
\(\displaystyle {8} = \sqrt {12{,}8h}{\small.}\)
Решим это уравнение.
Так как обе части равенства неотрицательны, возведем обе части равенства в квадрат. Получаем:
\(\displaystyle \color{red}({8}\color{red}{)^2} = \color{red}(\sqrt {12{,}8 h}\color{red}{){^2}}{\small,}\)
\(\displaystyle {64} = {12{,}8h}{\small,}\)
\(\displaystyle h=\frac{64}{12{,}8}=\frac{640}{128}=\frac{5}{1}=5\) м.
Тогда наблюдатель должен находиться на высоте \(\displaystyle {5}\) м.
Ответ: \(\displaystyle 5\) м.