Найти шестнадцатый член арифметической прогрессии \(\displaystyle a_{16}{ \small ,}\) если \(\displaystyle a_{11} = -1{ \small ,}\) \(\displaystyle a_{25} = 6{\small .}\)
Воспользуемся формулой для n-го члена арифметической прогрессии
Формула \(\displaystyle n \)-го члена арифметической прогрессии
\(\displaystyle a_\color{red}{ n}=a_1+d(\color{red}{ n}-1){ \small ,} \) где \(\displaystyle \color{red}{n}\)– номер элемента в прогрессии.
и запишем \(\displaystyle a_{11} \) и \(\displaystyle a_{25}{\small : } \)
\(\displaystyle a_{11} = a_1 + 10d\) и \(\displaystyle a_{25} = a_1 + 24d{\small .}\)
Поскольку \(\displaystyle a_{11}=-1 \) и \(\displaystyle a_{25}=6{ \small ,} \) то, подставляя, получаем систему линейных уравнений:
\(\displaystyle \left\{\begin{aligned} a_1 + 10d&=-1{ \small ,}\\a_1 + 24d&=6{\small .}\end{aligned}\right.\)
Решим ее методом подстановки.
Выразим из первого уравнения \(\displaystyle a_1{\small : } \)
\(\displaystyle a_1=-1-10d{\small .} \)
Подставляя во второе уравнение, получаем:
\(\displaystyle (-1-10d)+24d=6{ \small ,}\)
\(\displaystyle -1-10d+24d=6{ \small ,}\)
\(\displaystyle 14d=6+1{ \small ,}\)
\(\displaystyle 14d = 7{ \small ,}\)
\(\displaystyle d = \frac{ 1}{ 2 }{\small .}\)
Так как \(\displaystyle a_1=-1-10d{ \small ,}\) то
\(\displaystyle a_1=-1-10\cdot \frac{ 1}{ 2 }{\small ,} \)
\(\displaystyle a_1=-1-5{\small ,} \)
\(\displaystyle a_1=-6{\small .} \)
Теперь, зная \(\displaystyle a_1 \) и \(\displaystyle d{ \small ,} \) найдем \(\displaystyle a_{16}{\small : } \)
\(\displaystyle a_{16}=a_1+15d{ \small ,} \)
\(\displaystyle a_{16}=-6+15\cdot \frac{ 1}{ 2 }{ \small ,}\)
\(\displaystyle a_{16}=-6+7{,}5{ \small ,}\)
\(\displaystyle a_{16}=1{,}5{\small .} \)
Ответ: \(\displaystyle 1{,}5{\small .} \)