Установите соответствие между неравенствами и их решениями:
Решением неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}\geqslant 0\) является
Решением неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}<0\) является
Способ 1 (метод интервалов)
Каждый из ответов является решением одного из неравенств в условии.
Найдем решение первого неравенства методом интервалов.
Тогда оставшийся ответ будет решением второго неравенства.
1. Найдем корни числителя и знаменателя выражения \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}{\small :}\)
\(\displaystyle x-1=0\) или \(\displaystyle x-3=0{\small ,}\)
\(\displaystyle x=1\) или \(\displaystyle x=3{\small .}\)
2. Расставим на числовой оси точки, соответствующие найденным корням.
Поскольку неравенство нестрогое, то
- все нули числителя, которые не обращают в ноль знаменатель, обозначаются закрашенными точками;
- все нули знаменателя всегда обозначаются выколотыми точками.
3. Получили три интервала, на которых нужно определить знаки:
\(\displaystyle (-\infty;1){\small ,}\) \(\displaystyle (1;3)\) и \(\displaystyle (3;+\infty){\small .}\)
Тогда для \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-3)}\) получаем:
\(\displaystyle f(-2)>0\quad\quad\quad\quad\quad f(2)<0\quad\quad\quad\quad\quad f(4)>0\)
Решения неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}\geqslant 0\) соответствуют промежуткам, где функция неотрицательна, откуда
\(\displaystyle (-\infty;1)\cup(3;+\infty)\) – искомое решение.
Следовательно, решением оставшегося неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}<0\) является \(\displaystyle (1;3){\small .}\)
Ответ: решением неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}\geqslant 0\) является \(\displaystyle (-\infty;1)\cup(3;+\infty){\small ,}\)
решением неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}<0\) является \(\displaystyle (1;3){\small .}\)
При решении неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}\geqslant 0\) были определены знаки функции \(\displaystyle f(x)=\frac{1}{(x-1)(x-3)}\) на каждом интервале.
Решения неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}< 0\) соответствуют промежуткам, где функция \(\displaystyle f(x)\) отрицательна, откуда
\(\displaystyle (1;3)\) – искомое решение.
Способ 2 (с помощью систем неравенств)
Каждый из ответов является решением одного из неравенств в условии.
Найдем решение первого неравенства с помощью систем.
Тогда оставшийся ответ будет решением второго неравенства.
Левая часть неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}\geqslant0\) является дробью.
Так как дробь неотрицательна, а числитель равен \(\displaystyle 1{\small ,}\) то знаменатель положителен.
Знаменатель состоит из произведения двух множителей: \(\displaystyle x-1\) и \(\displaystyle x-3{\small .}\)
Так как произведение положительно, множители должны иметь одинаковый знак.
Следовательно, возможны ситуации:
\(\displaystyle \begin{cases}x-1>0{\small ,}\\x-3>0{\small ;}\end{cases}\) | или | \(\displaystyle \begin{cases}x-1<0{\small ,}\\x-3<0{\small .}\end{cases}\) |
Решим полученные системы:
\(\displaystyle \begin{cases}x>1{\small ,}\\x>3{\small ;}\end{cases}\) | или | \(\displaystyle \begin{cases}x<1{\small ,}\\x<3{\small .}\end{cases}\) |
Нарисуем эти условия на одной числовой оси:
\(\displaystyle \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \color{red}{x>1}\) \(\displaystyle \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \color{green}{x>3}\) | или | \(\displaystyle \color{red}{x<1}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \)
\(\displaystyle \color{green}{x<3}\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \) |
Решением является пересечение, то есть та область, где есть штриховка и сверху, и снизу:
| \(\displaystyle x\in(3;+\infty)\) | или | \(\displaystyle x\in(-\infty;1){\small .}\) |
Следовательно, решением оставшегося неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}\leqslant 0\) является \(\displaystyle (1;3){\small .}\)
Ответ: решением неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}>0\) является \(\displaystyle (-\infty;1)\cup(3;+\infty){\small ,}\)
решением неравенства \(\displaystyle \frac{1}{(x-1)(x-3)}\leqslant 0\) является \(\displaystyle (1;3){\small .}\)